谈逻辑推理
孙宏安
逻辑推理是历来高中数学课程确定的数学能力之一，在新的数学素养要求中逻辑推理也占有重要的地位。
01逻辑推理是什么？
“逻辑推理”是一个偏正短语，“逻辑”是说明“推理”的。推理是从一个或几个命题推出一个命题的思维过程（它们分别被称为推理的前提和结论）。前提和结论的命题形式构成推理形式。命题形式和推理形式可合称思维形式。思维形式又指思维的不同形态：概念、命题、推理、理论等，它们都是人们用以表述自己的思维的表述形式。推理和其他思维形式一样，也有内容和形式两个方面：推理的内容就是反映在推理中的客观现实之间的关系；推理形式就是推理的结构，即推理内容各部分间联系的方式。形式或结构正确的推理叫逻辑推理，形式或结构不正确的推理叫不合逻辑的推理[1]。这里的“逻辑”二字指“具有思维规律性的”、“形式或结构正确的”。《现代汉语词典》对逻辑释义为“思维的规律”，逻辑推理就是合于思维规律的推理，也就是形式和结构正确的推理，与前面的说明是一致的。
02“逻辑推理”的范畴
按推理的定义，要理解推理，就要先理解“命题”和“推出”。命题是表示判断的语句，判断是对认知对象有所肯定或者否定的思维形式；数学命题是数学的核心内容，一个数学命题是若干数学概念的有机组合；数学概念是反映数学对象（空间形式和数量关系）本质属性的思维形式。推出就是作为前提的命题和作为结论的命题之间具有的一定的逻辑联系——合乎逻辑要求和正确的推理形式。在数学中，关键的思维活动是得到关于对象的作为数学核心内容的新的数学命题和确定数学命题的真假。人们通过一些数学推理得出新的命题；人们依据已经确定为真的命题来确定数学命题的真假，就是从已经确定为真的数学命题推出要确定其真假的数学命题，这是另一种推理过程，这个过程叫做数学证明。人们利用一些推理得出的新命题也需要通过数学证明确定其真假。数学证明是学习数学概念、命题、推理的关键性活动，所以是数学教学最重要的内容。于是探讨数学推理就需要从数学概念开始，通过数学命题进入数学推理的领域，而数学推理探讨的一个主要目标是数学证明。因此数学概念、数学命题、数学证明（的形式和结构）都属于逻辑推理探讨的范畴。在数学中对“逻辑”还有另一种理解：“‘逻辑’这个词有时就是用做一种简写，即所有关于数学本身的基本问题都算是逻辑”[2]。就这种理解来说，把数学概念、数学命题、数学证明都算作逻辑推理探讨的范畴就更是合理的：它们都涉及到数学本身的基本问题——它们是数学知识的主要组成形式和结构方式，对数学知识的把握则属于数学品格，可见逻辑推理与数学品格有着重要的互相促进的作用。
在数学中明确数学概念的方式有定义、分类，限制和概括。
数学概念定义方式最本质的是“属概念+种差”。这个定义方式在一定程度上可以视为一种抽象：舍弃属概念的某些性质而收括另一些性质（用种差表示的）。例如在“整数”概念中舍弃“能被除了1和自身之外的某些其他整数整除”这一性质和“是数1”这一性质而收括“不能被除1和自身之外的任何整数整除”的性质就抽象出素数概念。
数学概念分类的关键是分类的标准，按照某一标准把概念分类为它的一些种概念，每个种概念就是由属概念舍弃了属概念的一些不是本种概念的性质同时收括了本种概念的性质得到的，因此分类也可以视为一种数学抽象。
数学概念的限制和概括都是运用数学概括（正向和反向）得出新的数学概念。
由上述这些明确数学概念的方式不难看出明确数学概念的过程就是数学抽象或者数学概括的过程。
明确数学概念要注意区分可定义概念和不可定义概念，数学概念定义最本质的方式是“属概念+种差”，因此可不可定义的概念的区分就是看其是否有属概念：在一个数学理论体系中有属概念的概念是可定义概念，如圆柱、棱锥、二次方程、对数等等；在一个体系中没有属概念的数学概念是不可定义概念，在基础教育的数学体系中，诸如数、量、值、运算、点、线、面、体、线段、直线、曲面、图形、轨迹、集合、变换甚至自然数都是不可定义的概念。它们在基础教育的数学体系中没有属概念，实际上就是我们在谈数学抽象时说的体系中最抽象的概念，它们用作其他数学概念的属概念来定义其他概念，自身则是不可定义的。这样的概念称为一个理论体系中的初始概念。
集合、函数、关系和（二元）运算是基础教育数学课程中的具有基本的重要意义的数学概念，它们在整个数学学习过程中得到逐渐深入的理解，由它们出发定义出建构各种理论体系所需要的各种数学概念。
数学命题的范畴除了一般命题的简单命题复合命题，复合命题的真值以及命题演算等外，还有具有数学特点的内容。
数学命题的类型。数学命题分为公理、定理和数学公式（用数学符号表示的数学命题）。这个分类反映了数学命题的真假判定的一个特殊性：命题是依理论体系而真的；在一个数学理论体系中，公理是确定的无需证明而为真的，定理是需要证明为真的，证明的前提必须是公理或者已经由公理证明为真的定理，就是说，公理是数学证明的起点命题。这涉及到“公理法”。
公理法又称为公理学，包括公理方法和公理体系两个方面。公理方法是从初始概念和公理出发，按照一定的规则（逻辑规则）定义出理论所需要的其他所有的概念，推导出理论所需要的其他一切命题的一种演绎方法。由初始概念、公理、定义、逻辑规则、定理及其证明等构成的演绎体系叫做公理体系，公理方法是构成公理体系的方法，公理体系是运用公理方法得到的数学理论体系。现代绝大多数数学理论都是用公理法表述的公理体系，包括我们的高中数学教科书在内，我们可以注意到教科书中有初始概念（如前面举出的）和公理，有运用初始概念作为属概念的新概念的定义，有由公理开始的数学证明和证明得到的定理，所以，高中数学教科书提供了一个公理体系，当然，为了学习的方便不是十分严谨的公理体系。公理法中从初始概念定义出其他概念的过程就是概念的具体化，一种数学抽象的方式。
关于数学命题一个重要的方面是命题的四种形式，在高中数学中有所涉及。关于命题的另一个重要方面是命题的推广，就是对数学命题进行数学概括。比如勾股定理就可以推广为三角形的余弦定理，三角形的角边不等式定理，长方体对角线公式，直四面体表面积关系定理；可以推广为勾股数定理：存在着正整数a、b、c使得a2+b2=c2；由勾股数定理自然推广出问题：是否存在正整数a、b、c满足a3+b3=c3？换一个问法：不定方程x3+y3=z3是否有正整数解？接着再推广一下，对于n>2，不定方程xn+yn=zn是否有正整数解？一个对此进行否定的命题成为世界闻名的费马大定理，经过数学界350余年的努力，1994年为英国数学家怀尔斯证明。数学命题的推广对于数学的发展有着重要意义，是数学概括性发展的表现方式之一。
推理是从若干命题推出一个命题的思维形式。对于数学推理来说，首先需要解决的一个问题是：什么叫做“推出”命题？
一个命题是由另一个命题逻辑地推出来的，前者就称为后者的逻辑后承。设有两个命题A，B，如果命题A→B为真，就称B为A的逻辑后承。此时，如果A真，就可以推出B真，就是说从命题A推出了命题B。换言之，如果A真且A→B真，从而得出B真，就叫做从A逻辑的推出B。
其次应该解决数学推理的基本要求。这个基本要求就是推理合乎逻辑，推理合乎逻辑指的是在由前提得出结论的过程中要满足逻辑规则和推理形式。
逻辑规则。主要有同一律（关键是推理中涉及到的概念和命题在推理过程中应该始终保持一致）；矛盾律（在同一个系统中命题A和非A不能同真），排中律（在同一个系统中命题A和非A不能同假），这两个规律叫做古典逻辑二值原理，保证在系统中A和非A一真一假；充足理由律（论题必须有真实的并能由之推出论题的理由）。
推理形式。推出过程中前提A和结论B两个命题之间一定要有逻辑联系，这个联系就叫做推理形式。一个推理，如果其前提和结论之间不可能出现前提真而结论假的情况，就是说前提真结论必真，则这个推理合乎推理形式。
数学推理可以分为必然性推理和或然性推理两类。区分的标准是前提命题对结论命题的“证据支持度”，这个支持度达到100%的叫做必然性推理，否则叫做或然性推理。
// 2.3.1 演绎推理
演绎推理是必然性推理，因为演绎推理是从一般性的前提出发，通过推导即演绎，得出具体陈述或个别结论的过程；在这一过程中，推理形式决定了，结论就蕴含在前提之中，所以只要前提真，推理形式真，结论必然真。在前面“推出”的界说中，举出的由A真和A→B真推出B真就是一个演绎推理过程。
演绎推理的形式有三段论（直言推理）、关系推理、联言推理、选言推理、假言推理等。
演绎推理保证推理有效的根据在于它的推理形式，因此演绎推理的逻辑形式对于人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的作用，人们思维的条理性和严谨性主要依赖于演绎推理。由于能从一般的普遍性的命题中推出个别的具体性的命题，这在许多领域中就具有开拓性的意义，因为虽然一般性命题例如数学理论的公理系统蕴含了该理论中所有的命题，但是许多情况下到底具体可能是什么命题却是不知道的，演绎推理能把这个不知道转化成知道，就是一个重要的创新。因此演绎推理不仅仅是一种总结发现的思维方法同时也是一种做出发现的创造思维方法。在数学中尤其是这样，数学成果都是证明出来的，也就是都依赖于演绎推理；在证明的过程中还很可能推导出一些意料之外的新的有重要意义的命题，那更是创新性成果。看一下近年来的重大数学成果例如证明费马大定理、证明庞加莱猜想等等的过程无不是这样。一位法国数学家维拉尼关于自己证明菲尔茨奖的获奖成果——非线性朗道阻尼穆奥与维拉尼定理——的一千个日夜回顾的著作生动而具体地表明了这一点[3]。实验科学中也是这样，例如人们由“自然界的物质都是可分的”推出“基本粒子是可分的”的时候，基础物理学就面临一个重大的创新时刻，虽然基本粒子的构造是通过实验探究的，但是“观察渗透理论”，如果没有粒子可分的思想就不会设计相应的实验观察不到相应的现象。有人还认为：“构造数学证明是人类思维最具创造性的一种活动，只有相对很少的人才能给出真正的原创证明。”[4]进一步肯定演绎推理的创造性。而且演绎推理还是重要的科学方法——假说演绎法的关键组成部分，在科学创造中有着不可取代的作用。
// 2.3.2 归纳推理
归纳推理是以关于个别的知识为前提推出一般性知识的推理，从个别性的前提推出一般性的结论的推理，是一种或然性推理。
归纳推理有两种形式。其一是简单枚举归纳，从集合中一一枚举一些元素的经验事实中寻找其特性作为前提，并由此推出结论把这个特性作为整个集合的性质；其二是直觉归纳，把归纳视为一个直觉思维的过程，人们从一个集合的某个随机子集中发现了子集的某种共同特征作为前提，直接而迅速推出结论：把这种特征作为整个集合的特征。由前提到结论是一种或然性的联系，前提真结论未必真。这是因为结论中包含有前提中没有蕴含的也就是新的东西，结论中有新的东西一方面使得推理没有必然性结论；另一方面，这正是创新的本义！所以人们把归纳推理视为一种创造性方法，在数学以至于科学发展中有广泛的运用。例如数学中许多猜想，像孪生素数猜想、哥德巴赫猜想都是归纳出来的，科学中的牛顿定律、元素周期律也是归纳推理的产物。许多数学问题和科学问题的提出和解决都依赖于归纳推理。
演绎推理是从一般到个别的推理，归纳推理是从个别到一般的推理，它们有密切的联系和直接的互动关系：演绎推理需要的一般性知识前提通常是由归纳推理提供的；归纳推理需要运用演绎推理对已有的理论知识，对归纳推理的个别性前提进行分析，把握其中的因果性，必然性；归纳推理还需要演绎推理来验证自己的结论。例如，俄国化学家门捷列夫通过归纳发现元素周期律，指出,元素的性质随元素原子量的增加而呈周期性变化。后用演绎推理发现，原来测量的一些元素的原子量是错的。于是，他重新推导了它们在周期表中的位置，并预言了一些尚未发现的元素，指出周期表中应留出空白位置给未发现的新元素（后来真地发现了他预言的新元素，这是假说演绎法的一个成功的案例）。所以元素周期律是演绎推理和归纳推理互动做出的发现。人们认为，“在数学研究中，归纳推理和演绎推理互相联系、融为一体地发挥作用是数学发现与创造的真谛。因此，数学教学中，强调归纳推理和演绎推理能力的培养，是充分发挥数学育人功能的关键所在，把培养学生灵活运用归纳推理与演绎推理解决数学问题的能力放在核心地位，才能真正有效地促进学生数学能力的发展”。[5]就是有利于发展学生数学品格中的科学精神——理性精神和创新精神。
归纳推理经历了古典归纳（枚举归纳）、因果归纳（穆勒五法）和现代归纳（概率归纳、统计归纳）等几个发展阶段。
虽然归纳推理在数学中在科学中在人们的日常生活中都有大量运用，可以举出数学发展和科学发展中运用归纳推理成功的许许多多案例，不过对归纳推理始终存在着一个基础性问题：人们如何从个别的前提推出普遍的结论？人们一般用世界具有普遍的统一性作解释：我们相信事物既有特殊性，又有普遍性；相信存在一个统一的客观的外部世界；统一的世界的事物的特殊性和普遍形是密切联系的；因此可以依据特殊推出普遍。这些也是科学存在的前提条件。但是这一信念不仅解决不了归纳问题，反而引出新的归纳问题：对于这个从特殊推出普遍的信念，同样需要解决从特殊前提推出普遍结论这一过程的合理性问题，于是又回到了归纳问题。
// 2.3.3 类比推理
类比推理的主要思路是依据两个不同的对象在某些方面有类同之处，推出这两个对象在其他方面也可能具有类同之处。具体的类比推理就是由表述前者的命题作为前提推出表述后者的命题作为结论。其一般模式是：对象A和对象B都有属性a，b，c，对象A还有属性d，所以，对象B也有属性d。对象A和对象B不一定是同类的，说“都有”的属性a，b，c不必都是一样的，可以是a，b，c和分别与之相似的a´，b´，c´，结论中B有属性与d相似的d´。
按照这个模式可以明确的是：类比推理是一种个别到个别的推理，其前提和结论都是对个别对象的判断；类比推理是一种或然性推理，结论中包含前提中没有的新内容，因此，类比推理的前提真，结论未必真；同时结论里包含前提中没有蕴含的内容，因而也是一种创造性的方法。
类比推理能够进行的关键在于：[6]
对象A的所有元素与对象B的所有元素存在着一对一或者多对一的关系；
A中的一个元素是B中的一个元素的原像，当且仅当A中的元素与另一个元素存在着关系R，并且在B中的对应元素和另一个元素也存在着关系R´，两个关系是相似的；
A的元素与B的元素必须具有真实的相似性，即不仅符合人的认知，还能够推出类比的结论。
类比推理是人类的一种应用非常广泛的思维形式，是创造性问题解决、科学启发式、因果关系推理和隐喻的核心机制。有人进一步认为类比推理是人类认知发展的中心能力之一，是人类认知的核心。[7]在数学和科学研究、法学探讨、法厅审判和人工智能研究中都有重要的不可取代的应用。数学中类比于低维（简单）的成果推出高维（复杂）的问题是一类典型的类比推理案例，例如类比于2维闭流形的分类问题的解决庞加莱推出了庞加莱猜想；类比于算术基本定理人们提出代数基本定理；类比于整数理论建立多项式理论。反过来在数学学习中可以通过降维（简单化）的类比来解决高维（复杂）的问题，例如常用的类比于平面几何的问题来解决立体几何的问题。
与归纳推理的情况一样，类比推理与演绎推理也有密切的联系：类比的可能性需要演绎推理来判定（两类对象是不是真的相似，是不是存在相似的关系），类比的结果需要演绎推理的证明。归纳和类比正好就是数学概括中表述“扩张”的基本方法，而演绎推理则表达了概括中“分析”的方法，在表述数学概括时这三种数学推理密切结合起来。不仅如此，就是数学抽象的表述也是三种推理结合的过程。
数学证明指的是在一个数学理论体系中依据已经确定其真的若干数学命题推出某一数学命题的真假的数学推理过程。数学证明过程表现为一系列的演绎推理。数学证明有论题、论据和论证三个要素。论题就是其真假需要判定的那个命题，论据就是作为证明依据的已经判定为真的那些数学命题（这样的命题包括公理、已证定理、定义——在数学理论体系中相当于引入了新概念和与新概念相关的一条新的公理——即在本理论中无需证明的命题），论证则是一个推理过程，把作为论据的命题作为一个推出链条连接起来，使得最后推出的命题（逻辑后承）就是论题。通常数学证明在形式上分为已知、求证和论证三个组成部分，已知和求证相结合正好是论题——已知是论题的条件，求证是论题的结论，证明是论证，就是从可能的论据推出论题的推理过程。
那么，怎样从论据推出论题？就是怎样做出证明？为了使作为证明的推理过程成为可表述可理解可评价的，我们需要这样三个“一般推理规则”：
可以在一个证明的任何地方引入一个作为论据的命题；
如果一个证明中有一些先引入的论据命题，如果这些论据命题的合取可以逻辑地推出一个命题P，则可以在这个证明中引入这个命题P；
如果从一个命题R和一个论据命题集合推出命题S，则可以从这个论据命题集合本身推出命题R→S。
实际上我们所有的数学证明都在遵循着这三个规则。当然可以采用各种证明方法，随着数学的发展数学证明方法也不断发展着，有的时候，证明某一命题需要创造新的方法，这种新的方法可能引出新的数学发展甚至整个理论整个数学分支学科的创新。例如群论、解析数论等。
数学证明只能以演绎推理的形式进行表述，这是确定无疑的，否则就不能叫做证明，但是归纳推理和类比推理在数学证明中也不是不起作用的，不仅证明的论题许多情况下是通过归纳推理和类比推理得到的，而且寻找证明途径方法在许多情况下也需要归纳推理和类比推理的介入。在数学证明的过程中三种推理得到了高度的统一，关于数学概念数学命题数学推理的基本认识大多也是在数学证明中建立起来的。不仅如此，对数学证明还有一个重要的要求，那就是能够与别人交流，能够使别人看懂并且认同你的证明，越是有难度的证明就应该越表述得清晰明确使别人看懂，简洁而具有美感的表述是十分必要的。数学证明有高度的数学价值，包括知识价值、应用价值、审美价值和高度的教育价值，能有力地促进数学品格的发展[8]。所以我们说，数学证明是学习数学概念命题推理的关键性活动，是数学教学的最重要的内容。
03余论
逻辑推理能力是1963年中学数学教学大纲中作为教学目标提出来的数学能力，1956年大纲中用的是“逻辑思维能力”，1978年数学教学大纲又改回“逻辑思维能力”，1996年高中大纲改为“思维能力”，2000年高中大纲对思维能力做了解析：“思维能力主要是指：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理，会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。”2003年高中数学课程标准改为“推理论证”和“抽象概括”能力。
按照我们前面对“逻辑推理”的分析，不难发现，关于数学概念、命题、推理、证明等数学思维形式的内容实际上就包括了数学领域的“逻辑思维”甚至“思维”的全部内容，当然也就是“推理论证”和“抽象概括”的内容。反过来看也是一样。说抽象概括与逻辑推理具有一致性，还应该解释几句：数学抽象和数学概括是数学思维（包括方法、过程和结果）；数学概念、命题、推理是数学思维形式——正是表述人们对数学的认识即数学思维的思维形式，抽象和概括是思维的内容而逻辑推理是思维的形式，形式表述反映着内容，内容依赖于形式得以形成和表达；二者具有基本的一致性。当我们说数学教学以逻辑推理为教学目标时，也就隐含了对数学思维进而对数学抽象和数学概括的目标要求！这充分表明历来数学教学大纲和课程标准关于数学逻辑推理或者数学思维的教学（课程）目标本质上是完全一致的。
[1] 朱智贤，心理学大词典[K]，北京：北京师范大学出版社，1989：686、73
[2] 高尔斯主编，普林斯顿数学指南（第一卷）[M]，齐民友译，北京：科学出版社，2014：8
[3] 维拉尼，一个定理的诞生[M]，马跃、杨超艺译，北京：人民邮电出版社，2016
[4] 德夫林，数学思维导论[M]，林恩译，北京：人民邮电出版社，2016：82
[5] 连四清、方运加，“合情推理”辨析[J]，课程•教材•教法，2012（5）：54-57
[6] 参见：金立、赵佳花，逻辑学视域下的类比推理性质探究[J]，浙江大学学报（人文社会科学版），2015（4）：42-51
[7] 周玉平，类比推理研究方法[J]，社会心理学，2013（10）：34-36
[8] 本文中关于数学品格的论述均见：孙宏安，数学素养概念的精确化[J]，中学数学教学参考（上旬），2016（9）：2-4
