关于逻辑推理的两个问题

孙宏安

摘要：指出推理分为演绎推理和归纳推理两类，归纳推理可分为简单枚举推理、类比推理、因果推理和概率推理等。论证了合情推理不是推理，合情推理是一种数学启发法，其方法论精神是非常重要的学习内容。普通高中数学课程标准（2017年版）去掉了合情推理的说法，明确提出了“发现问题和提出命题，探索和表征论证过程”的方法论要求，提炼了合情推理的合理内容。对我们理解运用原来用“合情推理”表述的合理内容有现实的指导意义。

关键词：推理，推理分类，合情推理，数学启发法

写完了“谈逻辑推理”¹，觉得关于逻辑推理还有两个问题必须加以说明，一个是推理的结构（分类）问题，一个是合情推理在推理体系中的地位问题。

1．推理的分类

关于推理的分类，我们引述了三种推理：演绎推理、归纳推理和类比推理。我们指出，演绎推理和归纳推理是互为“反向”的推理，演绎推理是从一般到个别的推理，归纳推理是从个别到一般的推理，类比推理是从个别到个别的推理。

进一步的分析可见，演绎推理的从一般到个别，指的是从一般性的前提出发，通过推导即演绎，得出具体陈述或个别结论的过程。这里的具体陈述或个别结论一定是指在这个一般前提所包含的范围之内的，否则并不就是演绎推理。举个例子来说，从数学公理作为一般性的前提并不能就推导出物理学的某些具体陈述或个别结论。此外有人指出，演绎推理的结论也并不必然的就是个别性的，例如：

三角形内角和等于180°四边形外角和等于360°

就是由一般性的前提推导出一般性的结论。

因此现在有研究者认为，在实际上，这个“一般和个别”的要求的关键在于，演绎推理的结论就蕴含在前提之中，所以只要前提真，推理形式真，结论必然真。因此把演绎推理考虑为“结论蕴含在前提中的推理”可能比“从一般到个别的推理”更准确一下。对前面举出的这个演绎推理来说，这样的考虑是不是更恰当些？

一些逻辑学著作就是这样定义演绎推理的。例如：“演绎论证是这样一种论证，其前提被要求为结论的真提供决定性的基础。”“演绎论证在其前提真实、推理有效的情况下可以确定结论。”²再如：“当我们进行演绎推理时，结论的理由已经包含（隐性或显性）在前提中；当我们进行归纳推理时，基于模式的扩展或基于事物的相似性推知结论。”³

如果定义结论蕴含在前提中的推理是演绎推理的话，归纳推理也就可以得到新的界定：结论没有完全蕴含在前提中的推理，也就是结论中有超出前提范围的内容的推理。要运用这个界定的话，类比推理就是一种归纳推理了，因为显然类比推理的结论中有前提中所没有的内容。而且类比推理就成为说归纳推理是“从个别到一般”的推理的一种“反例”。

这样的界定从推理的结构的角度上看肯定是更为恰当的：推理可以分为完整的两大类：演绎推理和归纳推理，其中归纳推理包括了简单枚举归纳、类比归纳、因果归纳和概率推理等。而且进一步必然性推理和或然性推理也就能得到完全的二分法，演绎推理是必然性推理而归纳推理是或然性推理。

不过，我们一直采用的“从一般到个别的推理”是演绎推理的界定,认真分析起来似乎也并不是与“前提中蕴含结论的推理”的界定有太大的差异，如果我们限定一下“一般”和“个别”的范围，这里的一般是蕴含了结论中的“个别”的一般，这里的个别是在前提的“一般”中蕴含了的个别，因而这里的一般和个别具有某种相对性，而不是通常意义下的一般和个别，因此，“个别”也未必不能是一种普遍性陈述。前面那个由三角形的内角性质推导出四边形外角性质的推理也就符合“从一般到个别”的界定，四边形外角和的命题是相对于三角形内角和命题来说的个别，三角形内角和的命题是比四边形外角和的命题更一般的命题。这就是说，“前提中蕴含结论的推理” 就是“从一般到个别的推理”；而“从一般到个别的推理”无论怎样理解都是一种“前提中蕴含了结论”的推理。两者在我们的解释下是等价的。对于“结论没有完全蕴含在前提中的推理，也就是结论中有超出前提范围的内容的推理”的归纳推理的界定，在我们对一般和个别采用了上述解释的情况下，与通常的“从个别到一般的推理”的一致性就更强一些。包括类比推理也是从原来的个别性的前提推出了“个别性前提”中没有包括的内容，相对于原来前提的“个别”来说，结论就具有更加“一般”（超出原来的“个别”）的性质。

由此，我们的结论是用“从一般到个别的推理”或者“结论蕴含在前提中的推理”来界定演绎推理是等价的，因而是都可以应用的。我们就采用了通常的说法：“从一般到个别的推理”。归纳推理也是一样，用“从个别到一般的推理”或者“结论没有完全蕴含在前提中的推理”来界定也是等价的，我们采用了前者。

我们这样的定义的一个好处是能够更好地表述归纳和演绎的关系：归纳和演绎是互相联系、互相渗透进而能互相转化的，它们往往是交织在一起而发挥作用的。因为任何认识对象都是个别与一般的统一。任何个别都包含着一般，任何一般都存在于个别之中，认识一般需要先认识个别，认识个别又离不开一般的指导。演绎必须以归纳为前提，归纳必须以演绎为指导。从思维的某一个环节、某一阶段来看，归纳和演绎是互相独立的两种推理方式，但是从思维的全过程和总的秩序上看，正如个别与一般的关系那样，归纳和演绎又是互相联系、互相渗透并能够互相转化的两种推理。

2．关于合情推理

普通高中数学课程标准（2003）指出，“合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思想方法”；义务教育数学课程标准（2011）指出，“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些性质”。而且“推理一般包括合情推理和演绎推理”。因而就把推理分为合情推理和演绎推理两类，也满足演绎推理是必然性推理而合情推理是或然性推理的划分。这里还是存在这样一个问题：合情推理究竟是什么？我们从两方面来看。

2.1．合情推理不是什么？

合情推理源自美国波利亚（G.Polya）的几本有名的数学教育著作，特别是其中的《数学与猜想》⁴。不过该书中并没有给出合情推理明确的定义，而是开篇就引述了这么个概念，他是这样引述的：

“严格地说，除数学和论证逻辑外，我们所有的知识都是由一些猜想所构成的。当然有种种猜想。有表述成物理科学中某些一般定律的非常可靠又可贵的猜想，也有另一些既不可靠又不可贵的猜想，……而介于上述两种猜想之间还有各种各样的猜想、预感和推测。

我们借论证推理来肯定我们的数学知识，而借合情推理来为我们的猜想提供依据。

在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”[4，第一卷序言]

波利亚继续说：“首先，在数学发现中归纳推理与类比推理起着主要作用。其次，这两种推理都是合情推理的特殊情况。”[4，第二卷序言]

这部著作里并没有明确指出，到底合情推理是什么？就是怎样定义合情推理。而且看起来把许多并不是推理的思维方法或者思维要素也计入了合情推理之中。

我们列举一下国内的论者给出的“合情推理是什么？”一问的若干回答。

②       这部著作的中译者认为：“合情推理就是猜想。”[4，译者的话]

②高中数学课程标准（2003）说合情推理是根据已有结果，以及个人的经验和直觉等推测的推理过程；

③义务教育课程标准则说，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些性质。

④“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳、类比、联想、数据分析等方式推断出某些新结果的思维。”⁵

如果把这些语句作为合情推理的定义会怎么样呢？一个明确的定义要求明确的属概念和种差，首先就要有一个最近的属概念。我们分别来分析。

①“合情推理就是猜想”，指的是合情推理与猜想是等价的概念，猜想是什么呢？猜想，词典释义为“猜测”，而猜测则释义为“推测，凭想象估计”。是“根据已经知道的事情来想象不知道的事情”，是一种想象，想象是在对过去知觉中得到的并在记忆中保持下来的材料的基础上创造新的映像的心理过程。想象不是推理，推理是从一个或几个命题推出一个命题的思维过程。想象属于形象思维而推理属于逻辑思维。推理和猜想属于不同的范畴，不可能是等价的。就这个语句来看，这个合情推理的定义是无效的。

②合情推理是某种“推测的推理过程”，这句话如果指的是“合情推理就是某种推测”，推测已如前述。推测与推理不属于一个范畴，用来做合情推理的属概念是不恰当的；这句话说的“推测的推理过程”所指的其实就是推测。

③合情推理是依据什么的“推断某些性质”，推断的意思是推测断定，不仅又回到推测-想象那里，而且与推理不是同义词，推理得到的结果是命题而不仅仅是“某些性质”。而且这一个动宾短语不能当作概念使用，所以这里根本就没有给出合情推理的属概念。

④合情推理是……思维。这个定义明确说出了属概念：思维。推理与概念、命题、理论等都是思维形式，即思维的不同形态，它们都是人们用以表述自己的思维的表述形式。说推理是某种思维虽然不算十分准确但是还是可以的，不过这个属概念范围就过大了，不是合情推理定义中要求的最近的属概念。

其实合情推理最近的属概念就表述在这一概念本身之中——就是推理，为什么大家都不用呢？各个方面各个角度做的合情推理定义中都不用推理作属概念，这是不是从反面表明，严格来说，合情推理的属概念不是推理！因此从定义的规则来看，从上述四个定义必然得出来这样的结论：合情推理不是推理。

而从合情推理不是推理的结论出发，反而会发现上面的四个定义都是正确的！只要“合情推理不是推理”成立，则

①合情推理是猜想，

②合情推理是某种推测，

③合情推理是某种推断某些性质（的方法），

④合情推理是某种思维（方法）

就都是成立的，因而都是合情推理的（从不同方面不同角度表述的）定义。

合情推理不是推理。这不是一句自相矛盾的话语吗？但这是我们由合情推理的属概念不是推理得出来的必然的结果。问题出在哪里呢？出在对波利亚用语的翻译，合情推理是对原文“plausible reasoning”或者“plausible inference”的翻译。前面的词“plausible”有译为“合情的”“似真的”“似然的”，这里就不讨论了；后面的“reasoning”都译为“推理”。这个词当然有推理的意思，通常也就翻译成推理。在这里遇到了什么问题呢？遇到了推理的分类问题，如果按照前面所述推理分为完全的两个类：归纳推理和演绎推理（或者加上类比推理，共三类）；那么如果这里reasoning译为推理的话，这个plausible reasoning就必然或者是归纳推理或者是演绎推理（或者是类比推理），但是都不是，那么reasoning就不应该译为推理了。按照《新英汉词典》，可以译为“推论”，更可以结合inference的汉语释义译成“推断”，如前述，推断有推测的意思，就是猜想的意思。这个短语译为“合情推断”（或者“似真推断”“似然推断”）就不会出现前面举出的找不到属概念自好自我矛盾一下的问题。实际上我们所引译本的译者已经发现了这个问题，所以把书名Mathematics and Plausible Reasoning译为《数学与猜想》，认为plausible reasoning就是猜想，但是在文本中没有贯彻。而两种数学课程标准中已经把合情推理表述为推测（②）或推断（③）了。

按一种英语词典：Reasoning is the process by which you reach a conclusion after thinking about all the fact。例：…the reasoning behind the decision。（柯林斯高阶英语学习词典，外研社英语版，2006）可以翻译为：推断是在考虑了所有的事实后得出结论的过程。例子：……推断出后面的结果。“得出结论的过程”可以说就是一种“推断”（因为不限于从一个或几个命题得出结论命题所以不宜译成“推理”），即reasoning可以译为推断。

2.2．合情推理是什么？

合情推理（我们还得用这个短语）不是推理，那是什么呢？

其实在《数学与猜想》这部著作的作者“序言”中已经蕴含了“合情推理不是推理”的意思。其中一再强调合情推理与猜测的一致性：“但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”这是译者指出合情推理就是猜测的依据。序言中还说：“在数学发现中归纳推理与类比推理起着主要作用。这两种推理都是合情推理的特殊情况。”这句话的意思高中课程标准（2003）中做了非常恰当的解释：“归纳、类比是合情推理常用的思想方法。”把归纳推理和类比推理作为常用方法的事物还能是推理吗？

“译者的话”里，翻译者已经探讨并指出了合情推理是什么：“数学上的发现及证明不仅要从数学本身，而且要从数学以外的有关知识和实践得到启发，这是很重要的。这种启发往往是发现及证明的前导，波利亚还把‘从最简单做起’当作座右铭，这又为启发性的前导提供了立足点。这大概就是所谓‘合情推理’的模式。”就是指出，合情推理实际上是一种启发法——数学启发法。

2.3．数学启发法

启发的词典释义是“阐明事例，引起对方联想而有所顿悟”。启发式教学是我国源远流长的教学方式。现代用于探讨创造性思维的启发法研究是由德国心理学家顿克（K.Dunck）开始的，他通过实验提出了解决问题的逆向性启发法，就是对问题的情境、目的与解决问题的手段进行反复思考，特别是注意采用逆向思考搜索解题的途径。就是现在逆向思考解题策略的来源（本文得出“合情推理不是推理”就运用了逆向性启发法）。后来人工智能的先驱美国纽厄尔（A.Newell）、西蒙（H.A.Simon）等人利用顿克的实验方法，进行了逆向性启发法以及其他启发法的编程，形成一个叫做“逻辑理论家（LT）”的程序，被认为是第一个在计算机上实现的启发式程序，经实验自动证明了数学名著《数学原理》第二章的52条定理，此举标志着人工智能的真正开端。心理学总结了许多种启发法。例如效果启发法、稀缺性启发法、熟悉性启发法、典型性启发法、触及性启发法、直觉（顿悟）性启发法等等。其中典型性启发法在法庭审判（判例法）和中医诊疗（医案法）中有重要的作用（典型性启发法主要采用类比推理）。

举一个运用直觉（顿悟）启发法的现实的例子，顿悟启发法实际上是运用潜意识的方法。

张益唐曾花费三年时间研究“孪生素数猜想”，然而一筹莫展。有一天问题的答案突然跳入他的脑海，那时他并不是在办公室苦心孤诣地研究这个猜想，而是坐在朋友家的庭院里，朋友家住在科罗拉多州，他正等着朋友一起出发去听音乐会。他说：“我突然间意识到该怎么解了。”后来他用几个月的时间就完善了这个证明方法的所有细节。2014年，他的相关论文《论素数的下界》发表在美国数学年刊第3期上。⁶

数学启发法指对数学学习、数学应用特别是数学研究具有启发与指导意义的一般方法或模式，特别地，指数学中创造的方法和规则。

最先提出数学启发法的是法国数学家笛卡儿（R.Descartes），他在《方法论》(1637)一书中提出的数学—演绎法，实际上是作为一种“万能方法”给出的，是把代数方法尤其是解方程作为一种具有启发意义的一般方法，认为利用它可以解决任何问题。德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz）在《论组合术》(1666)一书中指出，所谓发现，就是找出概念的可能的组合。19、20世纪之交法国数学家庞加莱（J.H.Poincare）专门探讨过数学创造的方法问题。20世纪20—30年代，逻辑实证主义思想有了较大的发展，它明确地对“证明的方法”与“发现的方法”加以区分，并认为科学方法论的研究限于证明方法的探讨，发现问题则是心理学的问题，对它无法作出理性的或逻辑的分析，因此，严格地说，并不存在着“发现的方法”。由于从这时起的相当长的时期内逻辑实证主义在科学哲学以至于科学界占主导地位，所以这一时期数学启发法的研究就中断了。20世纪40年代以后，波利亚进行了复兴数学启发法的工作。他认为，如同笛卡儿所说的“万能方法”固然是不存在的，但“各种各样的规则还是有的，诸如行为准则、格言、指南等等。这些都还是有用的”。波利亚首先就“数学问题解决”来探讨数学启发法，他的一个关键性的思想是：我们可以，而且应当由已有的成功实践中总结出一般的方法或模式，这些方法和模式在以后类似的情况下，就可以起到启发与指导的作用。波利亚在这方面的工作跨越了20世纪40—60年代，他的著作有《怎样解题》(1945)，《数学与猜想》(1954)，《数学的发现》(1962)等。在《数学的发现》中他提出的四种解题模式——双轨迹模式、笛卡儿模式、递归模式和叠加模式，都是富于启发性的、在数学解题中有广泛应用的模式。他提出了解题过程——弄清问题、制定计划、实行计划、回顾，在这一过程中，人们的思维活动所进行的动员与组织、辨认与识记、充实与重新安排、分离与组合等都被认为是对数学创造过程的深刻的分析，对于数学研究和教学都有着重要的意义。他在《数学与猜想》中提出的“合情推理”作为实施数学发现的具体的方法是极具启发性的，是一种更加深入的数学启发法，在数学启发法的发展中具有特别重要的意义。后来在波利亚工作的基础上数学启发法不断得到深入的研究，20世纪80年代后在中国得到学者的研究和教学的实践，中国学者对此颇有创新，例如指出数学启发法的精神——数学中发现和发明的研究——就是数学方法论的一项重要内容，从而极大地推动了数学启发法的研究，此项研究成为数学方法论研究的一个热点问题，并成为数学教育界人士进入数学方法论研究的切入点。⁷

可见波利亚的合情推理是一种数学启发法，并且在数学启发法的发展中起了重要的承前启后的作用，在数学学习中学习运用数学启发法得到数学教师的全面响应。这就是数学课程标准中列入了合情推理的原因。

3．结语

推理的结构采用二分法：推理分为演绎推理（从一般到个别的推理）和归纳推理（从个别到一般的推理）两类。归纳推理可分为简单枚举推理、类比推理、因果推理和概率推理等。演绎推理是必然性推理，归纳推理是或然性推理。

合情推理（现在只好用这个短语）不是推理，因此认为“推理分为演绎推理和合情推理，而合情推理包括归纳推理和类比推理”是不妥当的。正因为如此，普通高中数学课程标准（2017年版）去掉了合情推理的说法，明确提出了“发现问题和提出命题，探索和表征论证过程”的方法论要求，在避免出现“合情推理不是推理”这样的矛盾的情况下提炼了合情推理的合理内容。

合情推理是一种数学启发法，其方法论精神是非常重要的学习内容，这一点前举两个课程标准的论述②③都是我们正在实施的课程要求，我们在教学中应该努力去落实；前举另两个论述①④比较恰当地阐述了合情推理的本质，对我们的教学有重要的参考意义。在2017年版数学课程标准中被提炼为重要的方法论要求，对我们理解运用原来用“合情推理”表述的合理内容有现实的指导意义。

参考文献